Línea Recta: La Línea Recta

Centro de Estudios Tecnológicos Industrial y de Servicios # 71

''La Linea Recta''

ASIGNATURA: Geometría Analítica.

MAESTRA: ING. Martha Reyna Martínez.

ALUMNA: Brenda Elizabeth Alfaro Aguilar.

Grado: 3° Grupo “K”

NUMERO DE LISTA: 2

-Pendiente y Angulo de Inclinación

La pendiente de una recta en un sistema de representación de un plano cartesiano , suele ser representado por la letra , y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe: toda recta que no sea horizontal, tiene que cortar al eje "x". se dice que si una recta corta al eje X, la inclinación de la recta se define como el ángulo positivo menor de 180°.

Una recta horizontal tiene pendiente igual a 0 (cero). Cuanto menor sea el valor de la pendiente, menor inclinación tendrá la recta; por ejemplo, una recta que se eleve un ángulo de 45° con respecto al eje X tiene una pendiente m = +1, y una recta que caiga 30° tiene pendiente m = -0,5. La pendiente de una recta vertical no está definida, o se dice que es infinita. Se considera como (ángulo de inclinación) a aquel ángulo que se pueda presentar entre un segmento plano (Horizonte) y otro segmento distante.

-Condiciones del Paralelismo y la Perpendicularidad

Paralelismo

Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección y ésto ocurre cuando sus vectores de dirección son iguales o proporcionales.

Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes coinciden:

Perpendicularidad

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son

ortogonales, o lo que es lo mismo, si el producto escalar de sus vectores de dirección es cero. Traduciendo ésto a coordenadas: Dos rectas con vectores de dirección y son perpendiculares. Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes y cumplen.

-Determinación de la Ecuación de la Recta

Todas las ecuaciones de líneas rectas son de la forma y = mx + b; donde m es la pendiente de la recta y b el intersecto o corte con el eje y).

En rectas PARALELAS, la pendiente siempre es la misma aunque el valor de b (intersecto o corte con el eje y) sea diferente. Si ves las primeras tres ecuaciones, ves que x está acompañada del número 3. Es decir, la pendiente de las tres rectas es 3. Con eso ya sabes que son paralelas.

En rectas PERPENDICULARES, el producto de las pendientes de las dos rectas SIEMPRE es igual a menos uno.

PARALELAS:

Y= 3x -1 ==> reemplazamos x=0 y obtenemos y=-1. reemplazamos x=1 y obtenemos y=2

==> esta recta pasa por los puntos (0,-1) y (1,2). Con esos dos puntos la puedes trazar y prolongarla

Y= 3x +2 ==> reemplazamos x=0 y obtenemos y= 2. reemplazamos x=1 y obtenemos y=

==> esta recta pasa por los puntos (0,2) y (1,5). Con esos dos puntos la puedes trazar y prolongarla.

Y= 3x ==> reemplazamos x=0 y obtenemos y=0. reemplazamos x=1 y obtenemos y=3

==> esta recta pasa por los puntos (0,0) y (1,3). Con esos dos puntos la puedes trazar y prolongarla.

Si ves el dibujo, son tres líneas paralelas, debido a que tienen la misma inclinación.

PERPENDICULARES:

Y=5x - 1 ==> en esta recta la pendiente m = 5

Y= -1/5 x +2 ==> en esta recta la pendiente m = -1/5

Hallamos el producto de sus pendientes y obtenemos 5 * (-1/5) = -1. Con eso ya sabes que son perpendiculares. Ahora haces el mismo procedimiento que en el caso anterior:

Y=5x - 1 ==> reemplazamos x=0 y obtenemos y=-1. reemplazamos x=1 y obtenemos y=4

esta recta pasa por los puntos (0,-1) y (1,4). Con esos dos puntos la puedes trazar y prolongarla.

Y= -1/5 x +2 ==> reemplazamos x=0 y obtenemos y=2. reemplazamos x=5 y obtenemos y=1

esta recta pasa por los puntos (0,2) y (5,1). Con esos dos puntos la puedes trazar y prolongarla.

Al ver el gráfico te das cuenta de que las dos rectas forman un ángulo de 90° entre sí, por ser perpendiculares.

-Ecuación de una Recta Forma Normal

La ecuación explícita de una recta tiene la forma y=mx+n donde m es la pendiente de la recta y n el término independiente. En el siguiente ejercicio te proponemos,que bien conociendo la pendiente m y un punto P por el que pasa determines m y n,o bien conociendo dos puntos determinar m y n. Recuerda que si tienes dos puntos puedes sustituirlos en la ecuación y plantear un sistema con dos ecuaciones y dos incógnita(m y n).

-Forma Polar de la Ecuación de la Recta

Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma ((θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función .

Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar . Si(−θ) = (θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si (180°−θ) = (θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si (θ−α°) = (θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo.

Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide.

Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar no tienen restricciones en el dominio y rango de la curva.

-Angulo de Intersección Entre Dos Rectas

La intersección entre dos rectas representa la solución del sistema de ecuaciones que conforman las fórmulas de esas rectas.

R1: 2x + 3y = 5

R2: 4x + 2y = 8

Existen dos maneras de resolver y encontrar el valor de ese punto solución. Una es de la manera gráfica, que es graficando aquellas rectas. La otra es de la manera algebráica, que tiene diversos métodos. Te digo el que más me acomoda a mí, por reducción.

En éste, lo que se busca es eliminar una de las incógnitas (x o y), para lo cual amplificas:

R1: 2x + 3y = 5 /*2 => 4x + 6y = 10

R2: 4x + 2y = 8 /*(-1) =>-4x - 2y = - 8

4y = 2

y = 1/2

Uso el valor de y para encontrar el de x, reemplazando en cualquiera de las dos rectas:

R2: 4x + 2*(1/2) = 8

4x + 1 = 8

4x =7

x = 7/4

Entonces el punto de intersección de las dos rectas es (7/4;1/2) y es, a la vez, la solución del sistema de ecuaciones dado.

Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación;Donde f es el ángulo de elevación de la línea, esto es, f = arctan donde es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial ? = f perpendicularmente al punto ( 0, f) tiene la ecuación

-Ángulo de intersección entre dos rectas.

Se define el ANGULO entrel1 y l2 como el ángulo positivo obtenido al rotar la rectal 2 hacia l1 . En este caso, el ángulo entre l1 y l2 viene dado por:
b1 = q1 - q2 (1).

El propósito ahora es establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y el ángulo entre ellas.

De la igualdad (1) se tiene:
tan b1 = tan (q1 - q2 (2)

También,
cot b1 = cot (q1 - q2)(3)

Puesto que m1=tan q1 y m2=tan q2 , entonces las igualdades (2) y (3) podemos escribirlas en la forma:
tan b1 (2)’
y cot b1 , (3)’

Las ecuaciones (2)’ y (3)’ expresan la tangente y la cotangente del ángulo b1, entre las rectas l1 y l2 en términos de sus pendientes y por medio de ellas se pueden establecer criterios de perpendicularidad y paralelismo entre rectas, como la afirma el siguiente teorema.

-Familias de Rectas

La totalidad de las rectas que satisfacen una única condición geométrica se llama familia o haz de rectas, ésta definición es útil para hallar la ecuación de una recta en particular. La familia de rectas se clasifica en tres grupos los cuales son:

FAMILIAS DE RECTAS PARALELAS A UNA RECTA DADA:

Si la ecuación de la recta dada es Ax+By+C=0 y su pendiente es m=-A/B, entonces el conjunto de rectas L1 y que son paralelas a L2 tendrán por ecuación y=mx+b, por el criterio de paralelismo.

Y=-A/Bx+b entonces Ax+By+Bb

Si sustituimos la cantidad constante B por el parámetro K tendremos la ecuación de la familia

de rectas paralelas a L1

L1: Ax+By+K=0 FAMILIA DE RECTAS PERPENDICULARES A UNA RECTA DADA:

Si conocemos la recta L1:Ax+By+C=0 con pendiente m=-A/B y si y=mx+b es cualquiera de las rectas, L1 entonces por el criterio de perpendicularidad su ecuación será de la forma:

Y=B/Ax+b entonces L1=Bx-Ay+Ab=0

Si sustituimos por el producto Ab por el parámetro K obtenemos:

L1:Bx-Ay+K=0

FAMILIA DE RECTAS QUE PASAN POR LA INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS:

El conjunto de rectas pueden ser 1,2,3……..n, que pasan por un punto se la llama también familia de rectas con centro P.

Si: L1:Ax1+By1+C1 Y L2:A2x+B2y+C2=0

Son las rectas dadas que cortan en el centro P, la ecuación: L1: α(A1x+B1y+C)+β(A2x+B2y+C2)=0

Multiplicando a la primera recta por α y a la segunda recta por β y a este resultado lo dividimos por α y si suponemos que β/α=K tendremos: A1x+B1y+C1+K(A2x+B2y+C2)=0

Por medio de esta ecuación se puede determinar cualquier recta de la familia con centro P. El parámetro K es una constante para cada miembro de la familia que varía de recta en recta

-Aplicación de la Forma Normal de la Ecuación de la Recta

La ecuación de la recta tiene 3 formas, dependiendo de los datos que tengas.

-Si tienes dos puntos, la ecuación es y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) (x - x1)

-Si tienes un punto y conoces la pendiente la ecuación es: y - y1 = m (x - x1) donde m es la pendiente.

-Si conoces la pendiente y el punto en que esta corta al eje "y" la ecuación es y = mx + b donde b es es el valor de "y" y "m" es la pendiente.

La recta L queda determinada por la longitud de su perpendicular trazada desde el origen y el ángulo
positivo W que la perpendicular forma con el eje de las x. La perpendicular OA a la recta L, representada
por P, se considera siempre positiva por ser una distancia. EI ángulo W engendrado por OA varia de
0°= W < 360°.

Si damos valores a p y W, la recta L trazada por A(x1
, y,) queda determinada por la ecuación de la recta en
su forma normal que se obtiene en la forma siguiente:
Observando la figura anterior, tenemos:

cos w = X1/p
sen w = Y1/p

Despejamos: Despejamos:
x1 = p cos w y1 = p sen w

Sustituimos los dos valores anteriores en A = (x1 , y1), con lo cual obtenemos las coordenadas del punto A,
que son: A = (p cos W, p sen w)
Par su parte, la pendiente m de OA es: m =tan w
Como la recta L es perpendicular a la recta GA, sus pendientes están relacionadas con; m1= -1/m2
es decir, la recíproca con signo cambiado. Como ya sabemos que la pendiente de OA es tan w, la inversa
de esta función con signo cambiado de la recta L perpendicular a GA es: -cot w de donde, m =-cot w = COSW/SINW

-Rectas y Puntos Notables de un Triangulo

Rectas y puntos notables de un triángulo. Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos. Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. En los triángulos se pueden denotar un grupo de rectas y puntos muy importantes. Entre las rectas notables más conocidas de un triángulo se pueden nombrar las mediatrices, las medianas, las alturas y las bisectrices; cada una de estas rectas notables determinan los puntos notables: circuncentro, baricentro, ortocentro y el incentro, respectivamente.

-Rectas y puntos notables de un triángulo.

Las rectas y puntos notables de un triángulo son:

Las mediatrices, que se cortan en un punto llamado circuncentro,centro de la circunferencia circunscrita al triángulo; las medianas, que se cortan en el baricentro, centro de gravedad del triángulo; las bisectrices, que se cortan en el incentro, centro de la circunferencia inscrita del triángulo; las alturas, que se cortan en el orto centro.

Las mediatrices

Las mediatrices de un triángulo acutángulo se cortarán siempre en un punto interior del triángulo, luego su circuncentro será interior al triángulo.

En el caso del triángulo rectángulo vemos que el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa. En el caso de un triángulo obtusángulo, el circuncentro es exterior al triángulo.

Las medianas

Las medianas se cortan siempre en un punto interior del triángulo.
El baricentro tiene una propiedad física importante: es el centro de gravedad del triángulo.Si unimos los puntos medios de los lados del triángulo obtenemos el triángulo que tiene el mismo baricentro que y sus medianas miden la mitad que las de .
Además los lados de miden la mitad que los lados de y la superficie de es la cuarta parte de la superficie de , pues podemos comprobar que al trazar se han definido otros tres triángulos iguales.

Las alturas.

Las alturas de un triángulo acutángulo se cortan siempre en un punto interior del triángulo, luego su orto centro es interior al triángulo.

-Distintas Formas de la Ecuación de la Recta

Ya hemos visto que la expresión y =mx+b representa una función cuya gráfica es una línea recta. Esa ecuación, por lo tanto, representa la ecuación de una recta. Como veremos en este apartado, existen otras expresiones equivalentes. La expresión anterior recibe el nombre de forma explicita de la ecuación de la recta.

Conocemos ya varias formas de hallar esa ecuación. En particular, hemos visto que el método más simple puede aplicarse cuando conocemos la pendiente y la ordenada en el origen. En el caso de que conociéramos dos puntos por donde pasa, también hemos estudiado cómo hallar su pendiente. En concreto, si la recta pasa por los puntos y , la forma de hallar la pendiente es muy fácil; ya que basta dividir la variación que hay en la ordenada, al pasar de un punto a otro, entre la variación de la abscisa.

Da lo mismo el orden en que se elijan los puntos, pero debe ser el mismo en los dos miembros de la fracción. En el siguiente ejercicio resuelto puedes ver cómo calcular la ecuación de la recta que pasa por dos puntos de diversas maneras.